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写得好的样例片段
本文件从两份现行讲义里抽取代表性片段，按 element 类型分类。看这些片段是为了对齐"写出来 就该是这样"的标准。文风、连贯性、推导风、归宿判断都靠这些样例校准——[writing-style.md] 讲方法论，本文件给出对应方法论的具体落地。
样例出处：
- EM-131 保角变换法（学生版讲义）
- 简正模（第 19 章）
segment：物理引入的范例
样例摘自简正模 §19.1.1 动能的表示。
要考察一个多自由度体系在平衡位置附近的小振动，一种普适的方法是写出体系的动能和势能 然后代入拉格朗日方程。这里我们假设体系的广义坐标的为 $q_1, q_2, \dots, q_n$，那么动能 一定可以写为
T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} f_{i,j}(q_1, q_2, \dots, q_n)\,\dot q_i \dot q_j .其中
f_{i,j}是一个关于广义坐标的函数。例如当我们选择极坐标系描述二维空间中的运动 的时候，有T = \tfrac{1}{2} m\dot r^2 + \tfrac{1}{2} m r^2 \dot\theta^2 ,可见
\dot\theta^2对应的f为 $mr^2$。考虑到这里我们考虑的振动是在平衡位置附近的 小振动，广义坐标的导数\dot q_i是小量，而在振动过程中f的改变是一阶的，因此如 果仅仅保留到二阶小量，我们可以将上式改写为 ……（接下来矩阵化、对角化）
为什么写得好：第一句直接给出物理设置（多自由度小振动 + 普适方法）。引入一般动能形式 之后立刻举一个最简单的极坐标例子让公式落地，然后顺着"小振动→二阶小量"的物理逻辑推进到 矩阵化。整段没有"接下来要做的是""本节的核心是""为后面 X 节铺垫"这类编排话——下一步是 什么由物理决定，不需要预告。
segment：概念串联的范例
样例摘自保角变换 §1.2 复势的定义。
考虑一个二维静电场问题，电势
\varphi(x,y)满足拉普拉斯方程。由上一节的讨论，必然 存在一个共轭调和函数 $\psi(x,y)$，使得\varphi和\psi共同构成一个解析函数W(z) = \varphi(x,y) + \mathrm{i}\psi(x,y),称为复势。其中
\varphi为电势，\psi为流函数，电通量则正比于两条流线的流函数差值。 等势线\varphi = \text{const}与电力线\psi = \text{const}处处正交，这与式 (3) 的几何意义完全吻合。从复势中提取电场只需要做一次求导。对上式求导得到
\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z} = \frac{\partial\varphi}{\partial x} + \mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} = -E_x + \mathrm{i}E_y,其中最后一步利用了
E_x = -\partial\varphi/\partial x以及式 (3) 给出的 $\partial\psi/\partial x = -\partial\varphi/\partial y = E_y$。
为什么写得好：用"由上一节的讨论""这与式 (3) 的几何意义完全吻合""利用了式 (3)"三次 回引前文，每一次都是物理推导中真正用到了前文结论。回引方式简洁、点到为止，不展开复述。 对比之下，错误的回引是"还记得我们在第 X 节讲的那个图吗，这里就是它的回扣"。
lemma stmt：简洁陈述的范例
样例摘自保角变换 §1.1 末，柯西-黎曼条件的引出。
设复变量 $z = x + \mathrm{i}y$，考虑复变函数 $f(z) = u(x,y) + \mathrm{i}v(x,y)$， 其中
u和v是两个实值函数。我们要求f的导数在复平面上处处存在且与求导方向 无关。沿实轴方向求导给出 ……，而沿虚轴方向求导给出 ……，两个表达式的实部和虚部分别 相等，立即得到柯西-黎曼条件\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.满足此式的函数称为解析函数。从此式可以读出一个重要的几何性质：
u的梯度与v的 梯度正交。这意味着u = \text{const}与v = \text{const}两族曲线处处正交。
为什么写得好：定理陈述（柯西-黎曼条件）由前面的物理设置自然推出，给出公式之后用一 两句话陈述它的几何含义。整段没有任何"这是核心定理""务必掌握""非常重要"的元评论，几何 含义陈述本身就是对定理意义的最好说明。
lemma proof：纯推导的范例
样例摘自简正模 §19.1.3，证明 $\frac{\partial}{\partial q_i}\bigl(\tfrac{1}{2}\boldsymbol{q}^\mathrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{q}\bigr)\boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{M}\boldsymbol{q}$。
将被求导的式子展开，为
\tfrac{1}{2}\boldsymbol{q}^\mathrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{q} = \sum_{i,j}\tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j = \sum_i \sum_j \tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j .考察其中与
q_i有关的部分，有可能是第一个求和取 $i$，可能是第二个求和取 $i$，也可 能是两个求和都取 $i$，把这三类相加为\sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j + \sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ji} q_j q_i + \tfrac{1}{2} m_{ii} q_i^2 .代回原式得到
\text{left side} = \frac{\partial}{\partial q_i}\Bigl[\sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j + \sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ji} q_j q_i + \tfrac{1}{2} m_{ii} q_i^2\Bigr]\boldsymbol{e}_i= \sum_{j\neq i}\bigl[\tfrac{1}{2} m_{ij} q_j + \tfrac{1}{2} m_{ji} q_j\bigr]\boldsymbol{e}_i + m_{ii} q_i \boldsymbol{e}_i= \sum_j m_{ij} q_j \boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{M}\boldsymbol{q} ,倒数第二个等号利用了
\boldsymbol{M}作为对称矩阵的性质。
为什么写得好：整段就是一连串公式加最短衔接词——"展开为""考察……部分""相加为""代回 得到""利用了……的性质"。没有"我们要做的第一步是……""现在我们考虑……""注意到这一步非常 关键……"这类讲解语言。推导自身的逻辑就是叙事，不需要再多一层元叙述。
lemma proof：含分步推导的范例
样例摘自简正模 §19.1.1 末段（动能对角化的几步推进）。
显然我们可以适当分配交叉项使得
\boldsymbol{M}是一个对称矩阵，这意味着它可对角化。 令\boldsymbol{M}的对角化形式为\boldsymbol{M} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1} .此时动能可以改写为
T = \dot{\boldsymbol{q}}^\mathrm{T} \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1} \dot{\boldsymbol{q}} .定义新的广义坐标
\boldsymbol{q}^* = \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{q} ,又由于
\boldsymbol{P}^{-1}的每一行都是\boldsymbol{M}的本征矢量 $\boldsymbol{x}_i$， 也可以得到新广义坐标的各个分量为q_i^* = \boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{q}_i .若令
\boldsymbol{M}的本征值为 $m_i$，则可以将动能写为不含广义坐标交叉项的形式，即T = \sum_i \tfrac{1}{2} m_i (\dot q_i^*)^2 .
为什么写得好：每一步都是一行"陈述 + 公式"，陈述部分极短（"令 \boldsymbol{M} 的
对角化形式为""定义新的广义坐标""若令 \boldsymbol{M} 的本征值为 $m_i$"），公式紧跟。
六个公式块用五个衔接句串起来，每个衔接句平均不到 10 字。
example problem：题面紧凑的范例
样例摘自保角变换 EM131.14、EM131.18。
例 EM131.14：空间中有两个半径分别为
R_1和R_2的一大一小两个圆柱，其中心间距 为 $D$，试在D < R_2 - R_1的条件下计算两个圆柱之间的电容。
例 EM131.18：有一个半长轴为 $A$、短半轴为
B的无限长导体椭圆柱，将其置于沿长轴方 向的均匀外电场E_0中，试求椭圆柱外的电势分布和表面电荷密度。
为什么写得好：题面只给"物理设置 + 所求量"两件事，参数齐全、约束条件齐全。没有"为了 练习……""下面这道题考察……""请同学们仔细思考"等元描述。
example solution：纯推导的范例
样例摘自简正模例题 19.4。
解：不论通过对角化矩阵还是加减消元都可以很容易得到简正坐标为
\xi_{1,2} = x_1 \pm x_2 .
为什么写得好：solution 可以很短——所求量直接由前面建立的方法得到的话，给出结果即可， 不必为了凑字数把方法再讲一遍。"不论通过对角化矩阵还是加减消元"这句话指明可走的路径， 然后立刻给结果。
example solution：分步推导的范例
样例摘自简正模例题 19.5（含约当正规型求解）。
重新定义 $\boldsymbol{\xi}$，它的两个分量分别为
2 x_1 + x_2与 $2 x_1 - x_2$，那么 分量\xi_1和\xi_2满足的方程为\ddot\xi_1 + \xi_1 + \xi_2 = 0 ,\ddot\xi_2 + \xi_2 = 0 .先求解 $\xi_2$，很容易得到通解
\xi_2 = B \cos(t + \varphi_2) .再将
\xi_2代回\xi_1满足的方程得到\xi_1 = A \cos(t + \varphi_1) - \tfrac{B}{2} t \sin(t + \varphi_2) .通过
\xi_1和\xi_2反解x_1和 $x_2$，即x_1 = \tfrac{\xi_1 + \xi_2}{4}, \quad x_2 = \tfrac{\xi_1 - \xi_2}{2} .最终有
x_1 = \tfrac{A}{4}\cos(t+\varphi_1) + \tfrac{B}{4}\cos(t+\varphi_2) - \tfrac{B}{8} t \sin(t+\varphi_2) ,x_2 = \tfrac{A}{2}\cos(t+\varphi_1) - \tfrac{B}{2}\cos(t+\varphi_2) - \tfrac{B}{4} t \sin(t+\varphi_2) .
为什么写得好：分步走的求解里每一步都用"先求解""再将……代回""通过……反解""最终有" 之类的最短衔接。每个衔接词不超过三四个字，跟在公式之间纯粹起到流向指示的作用，不夹叙 任何讲解。看完一遍这种 solution，下次自己写就该写成这个样子。
段与段之间的过渡：物理逻辑的范例
样例摘自简正模 §19.1.1 末到 §19.1.2 开头。
总结来说，在平衡位置附近，我们一定可以选择一组广义坐标，使得动能形式如 (19.9) 式。
19.1.2 势能的表示
在平衡位置附近，对振动有贡献的是势能的二阶项，不妨令其为 ……
为什么写得好：§19.1.1 的最后一句是对该小节内容的客观归纳（"我们一定可以选择一组广义 坐标，使得动能形式如 (19.9)"），不是"接下来就讲势能"的预告。§19.1.2 第一句直接进入势能的 设置——之所以能进入，是因为已经写完动能、还差势能就能进拉格朗日方程，这是物理逻辑要求 的下一步，作者不需要在 19.1.1 末尾说"下一节会讲势能"。读者通过物理逻辑就能自然预期到 下一节的内容。
反例（不要写成这样）：
……我们看到动能可以通过对角化写成无交叉项的形式。这只是动能这一半的工作，接下来 我们要对势能做同样的事情，然后把两者代入拉格朗日方程，这是本节的核心目标。
势能的表示
现在我们来处理势能 ……
反例里加粗的两句完全是元叙述，物理上没有任何新信息——拿掉这两句读者照样知道下一节是 势能。这种话出现在 textbook 里就是把大纲编排话误带进了讲义。
整体风格的负面对照
为了让样例的"好"更明显，把同样的物理内容用错误风格再写一遍。
错误版（不要这样写）：
我们现在面对的是一个学生最容易卡住的地方——多自由度系统的小振动看起来比单摆复杂得多。 但其实只要找到一个统一的语言，问题就会变得清楚。这个统一的语言就是动能和势能的二次型 展开，再加上拉格朗日方程。本节是整章的基础，建议同学们一定要把这一节的推导完整做一遍， 否则后面的内容都会跟不上。下面我们先来看动能的形式。
为什么错：第一句"学生最容易卡住""看起来比单摆复杂得多"是教研判断，不该出现在学生看的 教材里；"统一的语言""会变得清楚"是情感修饰；"本节是整章的基础""建议同学们一定要……否则 后面的内容都会跟不上"是讲师对学生的指令性叙述，不是物理陈述；"下面我们先来看……"是 编排预告。
把这一段擦掉，直接写"要考察一个多自由度体系在平衡位置附近的小振动，一种普适的方法是 写出体系的动能和势能然后代入拉格朗日方程"——这就是正确的范例。