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feat(examples): migrate TH-141 sample to declarative layout (WU-6)
Real-content fixture for the end-to-end pipeline. TH-141 (39 parts: 22 segment, 15 lemma, 2 example) migrated from the prototype's typst `#let parts` manifest to ADR-0008: declarative manifest.toml (project+info+ordered parts+targets) + per-element element.toml (kind + scalars; examples carry `source`). Content .typ files copied byte-identical (no math corruption); per-element main.typ + meta.toml dropped (wiring is now generated). Part order matches source exactly; 5 lemmas have no proof.typ (optional); no cross-file imports / paralearn refs / figs. Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
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kind = "lemma"
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剥离单位面积固液界面前后的界面能账目变化为：消失一份固液界面贡献 $-gamma_(S L)$，新生成一份固气面与一份液气面贡献 $+(gamma_(S G) + gamma_(L G))$。剥离所做的可逆功 $W_(S L)$ 等于界面能的净增量
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$ W_(S L) = gamma_(S G) + gamma_(L G) - gamma_(S L) , $
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整理即得 @Dupré关系。
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@@ -0,0 +1,5 @@
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设把单位面积固液界面剥离成各自暴露的固气面与液气面所需的可逆功为粘附功 $W_(S L)$，则
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$ gamma_(S L) = gamma_(S G) + gamma_(L G) - W_(S L) . $ <Dupré关系>
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$W_(S L)$ 越大，固液之间越"粘"得紧，$gamma_(S L)$ 越小。
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,5 @@
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设液体的摩尔体积为 $V_m$、临界温度为 $T_c$，则其表面张力随温度的标度律为
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$ sigma thin V_m^(2\/3) = k (T_c - T) , $ <Eötvös规则>
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其中 $k approx 2.1 times 10^(-7) thin "J" dot "K"^(-1) dot "mol"^(-2\/3)$ 是一个对所有液体共用的普适常数，称为 Eötvös 常数。
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,13 @@
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把 @GG公式 给出的 $gamma_(S L) = (sqrt(gamma_(S G)) - sqrt(gamma_(L G)))^2$ 代入 @Young方程：
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$ cos theta = (gamma_(S G) - (sqrt(gamma_(S G)) - sqrt(gamma_(L G)))^2) / gamma_(L G) . $
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展开右端分子：
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$ gamma_(S G) - (gamma_(S G) - 2 sqrt(gamma_(S G) gamma_(L G)) + gamma_(L G)) = 2 sqrt(gamma_(S G) gamma_(L G)) - gamma_(L G) , $
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代回得
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$ cos theta = 2 sqrt(gamma_(S G) / gamma_(L G)) - 1 , $
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即 @GGZ判据。
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把 Berthelot 估计 @GG公式 代回 Young 方程 @Young方程，得到 Girifalco–Good–Zisman 浸润判据
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$ cos theta = 2 sqrt(gamma_(S G) / gamma_(L G)) - 1 . $ <GGZ判据>
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接触角完全由比值 $gamma_(S G) \/ gamma_(L G)$ 一个无量纲数决定。
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,9 @@
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把 @Berthelot粘附 代入 @Dupré关系：
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$ gamma_(S L) = gamma_(S G) + gamma_(L G) - 2 sqrt(gamma_(S G) thin gamma_(L G)) , $
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右端是完全平方差，化简得
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$ gamma_(S L) approx (sqrt(gamma_(S G)) - sqrt(gamma_(L G)))^2 , $
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即 @GG公式。
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对色散力为主的固液体系，异种相互作用能由同种相互作用能的几何平均近似：$epsilon_(S L) approx sqrt(epsilon_(S S) thin epsilon_(L L))$。相应地粘附功
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$ W_(S L) approx 2 sqrt(gamma_(S G) thin gamma_(L G)) . $ <Berthelot粘附>
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代入 @Dupré关系 得 Girifalco–Good 公式
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$ gamma_(S L) approx (sqrt(gamma_(S G)) - sqrt(gamma_(L G)))^2 . $ <GG公式>
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kind = "lemma"
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Eötvös 规则 @Eötvös规则 在 $T arrow.r T_c$ 附近预言 $sigma prop (T_c - T)$ 线性趋零。实验观测显示趋零行为更接近幂律：
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$ sigma = sigma_0 (1 - T \/ T_c)^n , quad n approx 11 \/ 9 . $ <GK规则>
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@GK规则 在临界点附近比 @Eötvös规则 更准确。
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kind = "lemma"
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设下半空间体相分子的数密度为 $n_v = 1 \/ d^3$。固定一个表面分子作为参考分子，对其与下半空间所有体相分子的相互作用求和。由对称性，相对参考分子距离 $r$ 在下半空间内的体积元为 $dif V = 2 pi r^2 dif r$。下限取 $r = d$，上限取 $infinity$：
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$ Delta U = 2 pi n_v integral_d^infinity u(r) thin r^2 dif r . $
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代入 $u(r)$，用 $integral r^2 dot r^(-n) dif r = r^(3 - n) \/ (3 - n)$ 化简，得
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$ Delta U tilde.op epsilon . $
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把 $Delta U$ 乘以单位面积分子数 $n_s tilde.op 1 \/ d^2$，由 @骨架公式 即得
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$ sigma tilde.op epsilon / d^2 , $
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即 @LJ标度。
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设分子间对势为 Lennard–Jones 6-12 形式
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$ u(r) = 4 epsilon [(d \/ r)^(12) - (d \/ r)^6] . $
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把一个表面分子与下半空间所有分子的相互作用积分求和，得到
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$ sigma tilde.op epsilon / d^2 . $ <LJ标度>
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此式与量纲估计 @量纲估计 同标度。
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kind = "lemma"
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在 @缺键一般式 中取 $zeta = 1\/2$，
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$ sigma_(L G) = 1/2 dot L_m thin rho^(2\/3) / (mu^(2\/3) N_A^(1\/3)) . $
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由 $d^3 = mu \/ (rho N_A)$ 得 $rho^(2\/3) \/ (mu^(2\/3) N_A^(1\/3)) = 1 \/ (d^2 N_A)$，代入即得
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$ sigma_(L G) thin d^2 approx L_m / (2 N_A) , $
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即 @Stefan估算。
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在 @缺键一般式 中取 $zeta = 1\/2$，得
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$ sigma_(L G) thin d^2 approx L_m / (2 N_A) . $ <Stefan估算>
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它是缺键模型的最简退化形式，不含任何晶格信息。
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kind = "lemma"
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沿固体表面把接触线挪动 $dif x$，单位接触线长度上：固液界面增 $dif x$，固气界面减 $dif x$，液气界面长度按 $cos theta$ 投影增 $dif x cos theta$。总界面能的变化
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$ dif F = gamma_(S L) dif x - gamma_(S G) dif x + gamma_(L G) cos theta thin dif x . $
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平衡条件 $dif F = 0$ 给出
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$ gamma_(S G) = gamma_(S L) + gamma_(L G) cos theta , $
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即 @Young方程。
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一滴液体落在固体表面上，与固气界面之间形成三相接触线。设浸润角即接触角为 $theta$，则三种界面张力满足
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$ gamma_(S G) = gamma_(S L) + gamma_(L G) cos theta , quad arrow.r.double quad cos theta = (gamma_(S G) - gamma_(S L)) / gamma_(L G) . $ <Young方程>
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,3 @@
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不同晶面的表面原子缺键数不同，故 $gamma_(S G)$ 随晶面指数 $(h k l)$ 而变。以简单立方为例：(100) 缺 1 键、(110) 缺 2 键、(111) 缺 3 键，从而
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$ gamma_(S G)^((100)) < gamma_(S G)^((110)) < gamma_(S G)^((111)) . $ <晶面各向异性>
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,9 @@
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设固体体积 $V$、表面积 $A$，应变 $epsilon$ 为均匀小量。体相单位体积的自由能 $f_b = Y epsilon^2 \/ 2$，表面单位面积的自由能 $gamma(epsilon)$，总自由能
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$ F = V f_b + A gamma(epsilon) . $
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对均匀拉伸 $V epsilon$ 求导得单位横截面承担的应力
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$ sigma_("tot") = (partial F) / (partial (V epsilon)) = Y epsilon + A / V dot (dif gamma) / (dif epsilon) , $
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即 @总应力。
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对横截面被均匀拉伸的固体，单位横截面承担的总应力为
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$ sigma_("tot") = Y epsilon + A / V dot (dif gamma) / (dif epsilon) , $ <总应力>
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其中 $Y$ 为杨氏模量、$epsilon$ 为应变、$A \/ V$ 为表面积与体积之比。第一项为体相弹性贡献，第二项为表面贡献。
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,5 @@
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数缺键以几何方式进行。
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简单立方中每个体相原子的 6 个最近邻分布在上下左右前后六个方向。(100) 面上的表面原子失去上方那 1 个邻居，故 $Z_s = 5$、$zeta = 5\/6$。
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面心立方中每个体相原子的 12 个最近邻分布在该原子周围三个 (111) 面上。(111) 面是最密堆积，表面原子失去上方一层的 3 个邻居，$Z_s = 9$、$zeta = 3\/4$。(100) 面失去 4 个上方邻居，$Z_s = 8$、$zeta = 2\/3$。(110) 面失去的近邻更多，$zeta$ 进一步减小。
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@@ -0,0 +1,8 @@
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通过对几何晶格直接数缺键数，可以把 @缺键一般式 中的 $zeta$ 落到具体数字：
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- 简单立方 (100) 面：$Z = 6$、$Z_s = 5$，$zeta = 5\/6$。
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- 面心立方 (111) 面：$Z = 12$、$Z_s = 9$，$zeta = 3\/4$。
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- 面心立方 (100) 面：$Z_s = 8$，$zeta = 2\/3$。
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- 面心立方 (110) 面：$zeta < 2\/3$。
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后续讨论以 FCC (111) 面为代表，因其密度最大、$gamma$ 最低、平衡形貌中最易出现。
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,17 @@
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设体相分子的最近邻数为 $Z$、每根键的能量为 $epsilon$。每根键被两个分子共享，一摩尔液体的独立键数为 $N_A Z \/ 2$，把它们全部断开所需的能量即摩尔汽化热
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$ L_m = N_A Z epsilon / 2 , quad arrow.r.double quad epsilon = (2 L_m) / (N_A Z) . $ <缺键-单键>
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表面分子的近邻数为 $zeta Z$，相比体相少 $(1 - zeta) Z$ 个近邻。按共享原则，每个缺键的能量代价为 $epsilon \/ 2$，于是每个表面分子的亏损能为
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$ Delta U = (1 - zeta) Z dot epsilon / 2 = ((1 - zeta) L_m) / N_A . $ <缺键-亏损能>
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设每个分子占体积 $d^3 = mu \/ (rho N_A)$，则单位面积分子数
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$ n_s = d^(-2) = (rho N_A / mu)^(2\/3) . $ <缺键-面密度>
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代入 @骨架公式 即得
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$ sigma_(L G) = Delta U dot n_s = (1 - zeta) thin L_m thin rho^(2\/3) / (mu^(2\/3) thin N_A^(1\/3)) , $
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即 @缺键一般式。
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设液体表面层每个分子的近邻数是体相分子近邻数的 $zeta$ 倍（$0 < zeta < 1$），摩尔汽化热为 $L_m$、摩尔质量为 $mu$、质量密度为 $rho$、阿伏伽德罗常量为 $N_A$，则液气界面张力系数为
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$ sigma_(L G) = (1 - zeta) thin L_m thin rho^(2\/3) / (mu^(2\/3) thin N_A^(1\/3)) . $ <缺键一般式>
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,5 @@
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固气界面 $gamma_(S G)$ 的缺键模型公式由 @缺键一般式 直接迁移，只把摩尔汽化热 $L_m$ 替换为摩尔升华热 $L_s$：
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$ gamma_(S G) = (1 - zeta) thin L_s thin rho^(2\/3) / (mu^(2\/3) thin N_A^(1\/3)) . $ <固气缺键式>
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物理来源也只是把"把分子从液体里拉出来"换成"把原子从晶格里拉出来"，骨架公式 @骨架公式 与单键计数过程不变。
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,11 @@
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$sigma$ 的热力学定义是恒温恒容下单位面积自由能：$sigma = (partial F \/ partial A)_(T, V)$。自由能微分
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$ dif F = - S dif T - p dif V + sigma dif A , $
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给出 Maxwell 关系
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$ ((partial sigma) / (partial T))_(A, V) = - ((partial S) / (partial A))_(T, V) = - s_s , $
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其中 $s_s equiv (partial S \/ partial A)_(T, V)$。代回即 @表面熵。
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液面分子被约束在准二维层内，可达微观态数比体相分子少，故 $s_s > 0$，进而 $dif sigma \/ dif T < 0$。
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设单位面积表面熵为 $s_s$，则表面张力对温度的变化率满足
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$ (dif sigma) / (dif T) = - s_s . $ <表面熵>
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物理上 $s_s > 0$，故 $dif sigma \/ dif T < 0$，$sigma$ 随温度升高单调下降。
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@@ -0,0 +1 @@
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kind = "lemma"
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@@ -0,0 +1,5 @@
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设液体的单键能为 $epsilon$、分子间距为 $d$，仅由量纲组合可得液气界面张力的标度
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$ sigma tilde.op epsilon / d^2 . $ <量纲估计>
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此式不依赖具体势函数、晶格结构或相变热，是后续更精细模型的下限基准。
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