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4.9 KiB
Typst
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Typst
#import "conf.typ": conf, rule, sidenote, warn, example
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#show: conf.with(
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title: "数据处理规范\n超严格版",
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subtitle: "—— 每一步都按误差理论最规范的方法处理 ——",
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badge: "超严格版",
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badge-color: rgb("#7a1f1f"),
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)
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= 规范定位
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本规范用于*严格训练*场景，目标是让每一步都贴近误差理论上最规范的做法，*接受较繁的计算量以换取处理的严谨性*。学生应严格按本规范作答；评分以本规范为唯一口径。
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#warn[
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本规范与《考试版》在四处刻意不同（有效数字取位、不确定度修约方向、连算代入值、拟合是否计 B 类）。同一份数据在两版下可能给出末位不同的答案，*出题与作答务必只认其中一版*，不可混用。
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]
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= 共同约定（两版一致）
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== A 类不确定度
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多次测量，A 类不确定度取平均值的实验标准差：
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$ u_A = sqrt(frac(sum_(i=1)^n (x_i - overline(x))^2, n(n-1))) $
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#rule[*A 类不确定度不做 $t$ 因子修正*，直接以上式为 $u_A$。]
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== B 类不确定度
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#rule[*B 类不确定度 $u_B = Delta_"仪" \/ sqrt(3)$*（仪器误差限按均匀分布折算）。]
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合成：$u = sqrt(u_A^2 + u_B^2)$。
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== 单次测量
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#rule[
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*单次测量*时，不假设 A 类不确定度为无穷大，*直接以仪器误差限估算该次测量的不确定度*（取 $u = Delta_"仪" \/ sqrt(3)$）。
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#sidenote[
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*出处批注：* 此条依据实验指导书"杨氏模量"实验对单次测量量的处理。使用时以本组实际采用的指导书"杨氏模量"部分为准核对措辞。
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= 有效数字与修约（本版选定口径）
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== 有效数字总原则
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#rule[*测量值（中心值）的位数必须与不确定度对齐*：不确定度精确到哪一位，测量值就写到哪一位。]
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== 不确定度取几位有效数字 —— 采用 A2
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#rule[
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*不确定度首位为 1、2、3 时保留 2 位有效数字；首位为 4\~9 时保留 1 位。*
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#example[
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$u = 0.123 → 0.12$（首位 1，取 2 位）； $u = 0.067 → 0.07$（首位 6，取 1 位）； $u = 0.28 → 0.28$（首位 2，取 2 位）。
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]
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== 测量值的修约 —— 四舍六入五凑偶
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#rule[*测量值一律采用"四舍六入五凑偶"修约*（逢四舍、逢六入、逢五凑偶）。]
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== 不确定度的修约 —— 只进不舍
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#rule[
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*不确定度修约时一律"只进不舍"*：在保留位之后只要有非零数字（乃至向上保守），末位即进位，使报告的不确定度偏保守（偏大）。
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#example[
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$u = 0.121 → 0.13$（保留 2 位，末位进 1）； $u = 0.341 → 0.4$（保留 1 位，进位）。
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#sidenote[
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"只进不舍"是较保守的口径（代表：北京大学）。它确保报告的不确定度不会因修约而偏小。
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= 多小问连算 —— 代入未修约真实值
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#rule[
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大题分多小问、后一问要用到前一问结果时，*一律代入前一问计算所得的完整精度数值（未修约的"真实值"）*，仅在每问*最终报告*时按上面的规则修约。中途不得代入已修约的填空值。
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#example[
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杨氏模量：第 1 问算得 $d = 1.8127... "mm"$（报告时修约为 $1.81 "mm"$）。第 2 问算 $E$ 时*代入 $d = 1.8127...$*，而非 $1.81$，避免逐级累积舍入误差。
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= 线性拟合 —— A 类与 B 类合成
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设 $y = k x + b$。
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== A 类
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斜率 A 类相对不确定度由相关系数 $gamma$ 表示：
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$ frac(sigma_k, k) = sqrt(frac(1, n-2) (frac(1, gamma^2) - 1)) $
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== B 类（本版必须计入）
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把斜率写成各 $y_i$ 的线性组合 $k = sum_i c_i y_i$，权重 $c_i = (x_i - overline(x)) \/ sum_j (x_j - overline(x))^2$。设各点纵轴 B 类不确定度近似相同、为 $u_(B,y) = Delta_("仪",y)\/sqrt(3)$，按传播：
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$ u_(B,k) = u_(B,y) sqrt(sum_i c_i^2) = frac(u_(B,y), sqrt(sum_i (x_i - overline(x))^2)). $
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#rule[
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*斜率不确定度取 A 类与 B 类的方和根*：
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$ u_k = sqrt(sigma_k^2 + u_(B,k)^2), wide u_(B,k) = frac(u_(B,y), sqrt(sum_i (x_i - overline(x))^2)). $
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#sidenote[
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若横轴量 $x$ 的仪器误差不可忽略，可乘以斜率 $k$ 折算到 $y$ 方向后并入 $u_(B,y)$。当数据点多、$sum_i (x_i-overline(x))^2$ 大时 $u_(B,k)$ 往往很小，但本版*不因此省略*，一律计入。
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= 速查（超严格版口径）
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#table(
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columns: (auto, 1fr),
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inset: 8pt,
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align: (left + horizon, left),
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stroke: 0.5pt + rgb("#cccccc"),
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fill: (_, row) => if row == 0 { rgb("#f0e6e6") } else { white },
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table.header([*项目*], [*本版做法*]),
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[A 类不确定度], [实验标准差，不做 $t$ 修正],
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[B 类不确定度], [$Delta_"仪" \/ sqrt(3)$],
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[单次测量], [以仪器误差限估算],
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[有效数字], [首位 1/2/3 取 2 位，其余 1 位（A2）],
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[测量值修约], [四舍六入五凑偶],
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[不确定度修约], [只进不舍],
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[连算代入], [代入未修约真实值],
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[线性拟合], [A 类 + B 类合成],
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)
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