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Typst
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// 物理竞赛中数据处理的争议点讨论
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// 定位：争议点讨论为主，只中立罗列各方做法，不给本课程拍板结论。
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#set document(title: "物理竞赛中数据处理的争议点讨论", author: "竞赛实验教研组")
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// ---------- 字体与页面 ----------
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#set page(
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paper: "a4",
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margin: (top: 2.4cm, bottom: 2.4cm, left: 2.4cm, right: 2.4cm),
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numbering: "1 / 1",
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number-align: center,
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)
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#set text(
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font: ("Noto Serif CJK SC",),
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size: 10.5pt,
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lang: "zh",
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region: "cn",
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)
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#set par(justify: true, leading: 0.85em, first-line-indent: (amount: 2em, all: true))
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#show heading: set text(font: ("Noto Sans CJK SC",))
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#show heading: set block(above: 1.2em, below: 0.7em)
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#set heading(numbering: "1.1")
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// 数学字体不指定 CJK，公式用默认 New Computer Modern Math
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#show math.equation: set text(font: "New Computer Modern Math")
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// ---------- 一些可复用的语义框 ----------
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#let dispute-color = rgb("#b3261e")
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#let calm-color = rgb("#1b5e20")
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#let note-color = rgb("#6a4c00")
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// 无争议约定框
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#let agreed(body) = block(
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width: 100%,
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inset: 10pt,
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radius: 4pt,
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fill: rgb("#eef6ee"),
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stroke: (left: 3pt + calm-color),
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body,
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)
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// 争议点框
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#let dispute(body) = block(
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width: 100%,
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inset: 10pt,
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radius: 4pt,
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fill: rgb("#fdeeec"),
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stroke: (left: 3pt + dispute-color),
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body,
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)
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// 批注 / 出处框
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#let sidenote(body) = block(
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width: 100%,
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inset: 9pt,
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radius: 4pt,
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fill: rgb("#fbf6e8"),
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stroke: (left: 3pt + note-color),
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text(size: 9.5pt, body),
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)
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// 各方做法的小标签
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#let school(name) = box(
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inset: (x: 5pt, y: 1.5pt),
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radius: 3pt,
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fill: rgb("#e8eef7"),
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text(size: 9pt, weight: "bold", name),
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)
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// ============================================================
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// 封面
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#align(center)[
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#v(3.2cm)
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#text(font: ("Noto Sans CJK SC",), size: 24pt, weight: "bold")[
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物理竞赛中数据处理的\
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争议点讨论
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]
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#v(0.6cm)
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#text(size: 13pt, fill: rgb("#555"))[—— 不确定度、有效数字与拟合的多种规范对照 ——]
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#v(1.4cm)
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#text(size: 11pt)[竞赛实验数据处理 · 教研与教学参考]
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#v(0.4cm)
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#text(size: 10pt, fill: rgb("#777"))[供教练备课与学生研读使用]
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]
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#pagebreak()
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// 阅读说明
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= 这份文档怎么读
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本文档的目的，是把竞赛实验数据处理中那些"两种甚至多种做法都在流传、却没有统一答案"的地方一次性摆清楚。它*不是*一份判定对错的评分标准，而是一份*争议点对照表*：
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- 凡是本领域已有共识、几乎不会引起争论的内容，归入 #text(fill: calm-color)[*"约定"*]（绿色框），作为后续讨论的共同前提；
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- 凡是各家（教材、命题、竞赛习惯）做法不一致的地方，单列为 #text(fill: dispute-color)[*"争议点"*]（红色框），并尽量中立地列出每一方的做法与其依据；
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- 个别需要交代来源或加以提醒的内容，用#text(fill: note-color)[*批注框*]（黄色框）标出。
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#sidenote[
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*关于"中立"。* 本文档对每个争议点*只罗列、不拍板*。哪一套规则作为本课程或某次测验的评分口径，由教练在使用时另行约定并提前告知学生——这一点务必在出题或考试前说清楚，否则同一份数据会出现多个"都对"的答案。
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// 第一部分：共同约定
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= 共同约定（基本无争议）
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下面几条在我们的处理体系里是稳定的前提，先固定下来，后面讨论争议时不再反复。
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== A 类不确定度
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多次测量下，A 类不确定度按样本标准差给出（贝塞尔公式给出的实验标准差，再除以 $sqrt(n)$ 得到平均值的标准不确定度）：
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$ u_A = s(overline(x)) = sqrt(frac(sum_(i=1)^n (x_i - overline(x))^2, n(n-1))) $
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#agreed[
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*约定 1：A 类不确定度不做 $t$ 因子（学生 $t$ 分布）修正。* 即直接以上式作为 $u_A$，不再乘以与测量次数有关的 $t$ 因子或包含因子。这是本体系的固定口径。
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]
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== B 类不确定度（多次测量）
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B 类不确定度由仪器误差限 $Delta_"仪"$ 给出，按均匀分布折算：
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$ u_B = frac(Delta_"仪", sqrt(3)) $
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#agreed[
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*约定 2：B 类不确定度 $= Delta_"仪" \/ sqrt(3)$。* 这里取 $sqrt(3)$ 对应仪器误差在 $plus.minus Delta_"仪"$ 区间内服从均匀分布的假设。
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]
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合成不确定度按方和根：$u = sqrt(u_A^2 + u_B^2)$。
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== 测量值的修约方式
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#agreed[
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*约定 3：测量值（中心值）一律采用"四舍六入五凑偶"修约。* 即逢四舍、逢六入，逢五时看前一位凑成偶数。注意：这一条只针对*测量值*；不确定度本身怎么修约是有争议的（见 @sec:round-u）。
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]
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#agreed[
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*约定 4：测量值的位数必须与不确定度对齐。* 不确定度精确到哪一位，测量值就写到哪一位，不多写也不少写。换言之，*有效数字跟着不确定度走*——这是整个有效数字问题的总原则。争议只在于"不确定度本身取几位"以及"末位怎么修约"。
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]
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// 第二部分：单次测量
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= 单次测量的特别约定
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多次测量时 A 类、B 类各司其职。但有时只做*单次测量*，此时不能简单地认为"没有重复测量，A 类不确定度就趋于无穷大、结果无法估计"。
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#agreed[
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*约定 5（单次测量）：单次测量时，直接用仪器误差限来估算该次测量的不确定度*，即把 $Delta_"仪" \/ sqrt(3)$（或按所采用规范直接用 $Delta_"仪"$）作为这一次测量结果的不确定度，而*不*假设 A 类不确定度为无穷大。
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]
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#sidenote[
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*出处批注。* 此约定的依据来自*实验指导书中"杨氏模量"实验*的相应章节——该实验对某些只测一次的量（如仪器读数类的单次量）即采用"以仪器误差限估算单次测量误差"的处理。使用本文档时，若所在教学体系的指导书版本不同，请以本组实际采用的指导书"杨氏模量"部分为准核对此条措辞。
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// 第三部分：争议点
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// ============================================================
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= 争议点
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以下每一条都没有"唯一正确"的答案。请教练在使用前选定口径并告知学生。
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== 争议点 A：不确定度取几位有效数字 <sec:u-digits>
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总原则没有争议（约定 4：测量值跟着不确定度对齐）。争议在于*不确定度本身*保留几位有效数字。
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#dispute[
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*做法 A1：不确定度一律取 1 位有效数字。*
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无论首位是几，不确定度都只写 1 位。例如 $u = 0.034 → 0.03$，$u = 0.12 → 0.1$。对应测量值也只对齐到该位。
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*做法 A2：首位为 1、2、3 时取 2 位有效数字，其余取 1 位。*
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当不确定度首位较小（1、2、3）时，只留 1 位会带来较大的相对截断，故允许保留 2 位。例如 $u = 0.123 → 0.12$（首位 1，取 2 位），而 $u = 0.67 → 0.7$（首位 6，取 1 位）。
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]
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#sidenote[
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A1 与 A2 的分歧本质，是"修约不确定度本身引入的相对误差能容忍多大"。A2 的"1/2/3 取两位"正是为压低这一相对误差而设。两套都很常见，命题时必须二选一并写明。
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]
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== 争议点 B：有效数字的"反向多取一位"变体 <sec:reverse-digit>
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这是争议点 A 的一个更细的变体，单独列出，因为它对测量值写法的影响最直接。
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#dispute[
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*做法 B（"看测量值末位决定是否多取一位"）：*
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设不确定度形如 $u = 0.03$。再看测量值在对齐位上的数字：
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- 若该位数字 $>= 3$（如测量值 $= 1.87$，末位 7），则*正常对齐*，写成 $(1.87 plus.minus 0.03)$；
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- 若该位数字以 1、2、3 这类较小数字开头（如测量值 $= 1.81$），则*允许测量值再多取一位*，并*相应地让不确定度也反向多取一位*，写成 $(1.81 plus.minus 0.03) → (1.812 plus.minus 0.034)$ 之类。
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]
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#sidenote[
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做法 B 的动机与 A2 一致——都是为了在数值较小时避免过度修约损失精度，只不过 B 是"由测量值末位反推是否多留一位，并让不确定度跟着多留一位"。它与 A1/A2 不完全等价，使用时要明确到底以哪条为准，避免学生在同一题里混用三套规则。
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]
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== 争议点 C：不确定度本身如何修约 <sec:round-u>
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测量值用四舍六入五凑偶已是约定（约定 3）。但*不确定度*的修约方向有分歧。
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#dispute[
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*做法 C1（只进不舍 / 向上取整）：* 不确定度修约时一律*只进不舍*，即末位无论被舍去的部分是多少都进位，使报告的不确定度偏保守（偏大）。
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#v(0.3em)
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代表口径：#school[北京大学]
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*做法 C2（四舍六入五凑偶）：* 不确定度与测量值一样，采用四舍六入五凑偶修约。
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#v(0.3em)
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代表口径：#school[中国科学技术大学] #school[第 42 届物理竞赛复赛]
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#sidenote[
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*特别提示：* 第 42 届全国中学生物理竞赛复赛对不确定度采用的是*四舍六入五凑偶*（即做法 C2）。若以贴近近年竞赛复赛阅卷习惯为目标，这一点值得在教学时强调；但日常训练里两种都可能遇到，仍以"出题时声明口径"为准。
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== 争议点 D：多小问连算时，代入哪一个值 <sec:carry-value>
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一道大题常有多个小问，前一问的结果会被后一问用到。典型如杨氏模量：第 1 问先求直径 $d$（含不确定度），第 2 问再用 $d$ 求杨氏模量 $E$。问题是：算 $E$ 时代入哪个 $d$？
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#dispute[
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*做法 D1（代入未修约的"真实值"）：* 用第 1 问计算过程中得到的*完整精度的 $d$*（小数点后很多位、未做修约）代入后续计算，最后只在终值处统一修约。
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#v(0.3em)
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依据：修约只应在*最终报告*时进行；中途代入修约值会引入*舍入误差*并逐级传播。从误差理论看这是更规范的做法。
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*做法 D2（代入第 1 问已修约的填空值）：* 用第 1 问*答题卡上已经修约、写进横线里的那个 $d$*（如 $d = 1.81 "mm"$）代入后续计算。
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#v(0.3em)
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依据：答题与阅卷的可追溯性——后一问的结果应当能由前一问"写出来的答案"复现；某些阅卷口径据此判分。
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]
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#sidenote[
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D1 是误差理论上更干净的做法（避免人为舍入误差累积），D2 则更贴合"按填写值逐问复算"的阅卷便利。两者在数值上通常只差最后一两位，但在边界情形可能影响终值修约后的末位。出题时应明确要求学生采用哪一种，并保持全卷一致。
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== 争议点 E：线性拟合是否计入 B 类不确定度 <sec:fit>
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线性拟合 $y = k x + b$ 中，斜率 $k$ 的*A 类*不确定度有成熟公式，无争议；争议在于*要不要再算 B 类并合成*。
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=== A 类（无争议部分）
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斜率的 A 类相对不确定度可由相关系数 $gamma$ 表示：
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$ frac(sigma_k, k) = sqrt(frac(1, n-2) (frac(1, gamma^2) - 1)) $
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其中 $gamma$ 为线性相关系数，$n$ 为数据点个数。这是线性拟合 A 类不确定度的常用表达，本身不引起争议。
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#agreed[
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*无争议：* 线性拟合斜率的 A 类不确定度套用上面的 $sigma_k \/ k$（用 $gamma$ 表示）公式。
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=== 争议：要不要再加 B 类
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#dispute[
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*做法 E1（只算 A 类，不计 B 类）：* 直接以拟合给出的 $sigma_k$ 作为斜率不确定度，不再考虑各测量点仪器误差带来的 B 类分量。
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#v(0.3em)
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现状：*相当多的题目与教材实际上只算 A 类*，而且常常*没有把"为什么忽略 B 类"说清楚*——这正是混乱的来源。
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*做法 E2（A 类与 B 类合成）：* 认为每个测量点都带有 B 类不确定度，应推导出斜率的 B 类分量后与 A 类方和根合成。
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#v(0.3em)
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现状：原则上更完整，但*少见教材给出现成公式*，需要自行推导（见下）。
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=== 线性拟合 B 类不确定度的推导（供采用 E2 时参考）
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考虑最小二乘斜率的标准表达
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$ k = frac(sum_(i) (x_i - overline(x))(y_i - overline(y)), sum_(i) (x_i - overline(x))^2) = frac(sum_i (x_i - overline(x)) y_i, sum_i (x_i - overline(x))^2). $
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把 $k$ 看成各 $y_i$ 的线性组合 $k = sum_i c_i y_i$，其中权重
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$ c_i = frac(x_i - overline(x), sum_j (x_j - overline(x))^2). $
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若每个 $y_i$ 带有相互独立的 B 类不确定度 $u_(B,y)$（由纵轴量的仪器误差限给出，$u_(B,y) = Delta_("仪",y) \/ sqrt(3)$，且各点近似相同），按不确定度传播：
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$ u_(B,k) = sqrt(sum_i c_i^2 u_(B,y)^2) = u_(B,y) sqrt(sum_i c_i^2) = frac(u_(B,y), sqrt(sum_i (x_i - overline(x))^2)). $
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即*斜率的 B 类不确定度等于纵轴单点 B 类不确定度，除以自变量的"离差平方和的平方根"* $sqrt(sum_i (x_i-overline(x))^2)$。
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如横轴量 $x$ 的仪器误差也不可忽略，可类似地把它折算到 $y$ 方向（乘以斜率 $k$）后并入 $u_(B,y)$；此处从略。最终斜率的合成不确定度为
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$ u_k = sqrt(sigma_k^2 + u_(B,k)^2). $
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#sidenote[
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*为什么会有 E1 这种"只算 A 类"的现状？* 当数据点较多、且离差平方和 $sum_i (x_i-overline(x))^2$ 较大时，$u_(B,k) = u_(B,y) \/ sqrt(sum_i (x_i-overline(x))^2)$ 往往远小于 A 类的 $sigma_k$，于是 B 类被"淹没"而省略。但这只是*近似成立的经验*，并非普遍正确——所以是否计入 B 类、以及是否声明忽略理由，仍是一个需要出题时明确的争议点。
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// ============================================================
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// 速查表
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// ============================================================
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#pagebreak()
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= 争议点速查表
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#table(
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columns: (auto, 1fr, 1fr),
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inset: 8pt,
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align: (left + horizon, left, left),
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stroke: 0.5pt + rgb("#cccccc"),
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fill: (_, row) => if row == 0 { rgb("#e8eef7") } else { white },
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table.header(
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[*编号*], [*争议内容*], [*主要分歧 / 代表口径*],
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),
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[A], [不确定度取几位有效数字], [A1 一律 1 位 / A2 首位为 1·2·3 时取 2 位],
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[B], [有效数字"反向多取一位"变体], [测量值末位 ≥3 正常对齐；以 1·2·3 起更小时，测量值与不确定度同时多取一位],
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[C], [不确定度本身如何修约], [C1 只进不舍（北大） / C2 四舍六入五凑偶（中科大、第 42 届复赛）],
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[D], [多小问连算代入哪个值], [D1 代入未修约真实值（误差理论更规范） / D2 代入第一问已修约的填空值（便于复算阅卷）],
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[E], [线性拟合是否计入 B 类], [E1 只算 A 类（常见但常不说明理由） / E2 A 类与 B 类合成（需自行推导 $u_(B,k)=u_(B,y)\/sqrt(sum (x_i-overline(x))^2)$）],
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)
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#v(0.6em)
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#sidenote[
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*使用建议：* 每次出题或测验前，针对表中 A–E 各项各选定一种口径，连同"A 类不做 $t$ 修正""$u_B=Delta_"仪"\/sqrt(3)$""单次测量以仪器误差限估算"等约定一并写在卷首说明里。口径一旦公布，全卷保持一致，避免同一份数据出现多个"都对"的答案。
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]
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