# 写得好的样例片段 本文件从两份现行讲义里抽取代表性片段，按 element 类型分类。看这些片段是为了对齐"写出来 就该是这样"的标准。文风、连贯性、推导风、归宿判断都靠这些样例校准——[writing-style.md] 讲方法论，本文件给出对应方法论的具体落地。 样例出处： - EM-131 保角变换法（学生版讲义） - 简正模（第 19 章） --- ## segment：物理引入的范例 样例摘自简正模 §19.1.1 动能的表示。 > 要考察一个多自由度体系在平衡位置附近的小振动，一种普适的方法是写出体系的动能和势能 > 然后代入拉格朗日方程。这里我们假设体系的广义坐标的为 $q_1, q_2, \dots, q_n$，那么动能 > 一定可以写为 > > $$T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} f_{i,j}(q_1, q_2, \dots, q_n)\,\dot q_i \dot q_j .$$ > > 其中 $f_{i,j}$ 是一个关于广义坐标的函数。例如当我们选择极坐标系描述二维空间中的运动 > 的时候，有 > > $$T = \tfrac{1}{2} m\dot r^2 + \tfrac{1}{2} m r^2 \dot\theta^2 ,$$ > > 可见 $\dot\theta^2$ 对应的 $f$ 为 $mr^2$。考虑到这里我们考虑的振动是在平衡位置附近的 > 小振动，广义坐标的导数 $\dot q_i$ 是小量，而在振动过程中 $f$ 的改变是一阶的，因此如 > 果仅仅保留到二阶小量，我们可以将上式改写为 ……（接下来矩阵化、对角化） **为什么写得好**：第一句直接给出物理设置（多自由度小振动 + 普适方法）。引入一般动能形式 之后立刻举一个最简单的极坐标例子让公式落地，然后顺着"小振动→二阶小量"的物理逻辑推进到 矩阵化。整段没有"接下来要做的是""本节的核心是""为后面 X 节铺垫"这类编排话——下一步是 什么由物理决定，不需要预告。 --- ## segment：概念串联的范例 样例摘自保角变换 §1.2 复势的定义。 > 考虑一个二维静电场问题，电势 $\varphi(x,y)$ 满足拉普拉斯方程。由上一节的讨论，必然 > 存在一个共轭调和函数 $\psi(x,y)$，使得 $\varphi$ 和 $\psi$ 共同构成一个解析函数 > > $$W(z) = \varphi(x,y) + \mathrm{i}\psi(x,y),$$ > > 称为复势。其中 $\varphi$ 为电势，$\psi$ 为流函数，电通量则正比于两条流线的流函数差值。 > 等势线 $\varphi = \text{const}$ 与电力线 $\psi = \text{const}$ 处处正交，这与式 (3) > 的几何意义完全吻合。 > > 从复势中提取电场只需要做一次求导。对上式求导得到 > > $$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z} = \frac{\partial\varphi}{\partial x} + \mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} = -E_x + \mathrm{i}E_y,$$ > > 其中最后一步利用了 $E_x = -\partial\varphi/\partial x$ 以及式 (3) 给出的 $\partial\psi/\partial x = -\partial\varphi/\partial y = E_y$。 **为什么写得好**：用"由上一节的讨论""这与式 (3) 的几何意义完全吻合""利用了式 (3)"三次 回引前文，每一次都是物理推导中真正用到了前文结论。回引方式简洁、点到为止，不展开复述。 对比之下，错误的回引是"还记得我们在第 X 节讲的那个图吗，这里就是它的回扣"。 --- ## lemma stmt：简洁陈述的范例 样例摘自保角变换 §1.1 末，柯西-黎曼条件的引出。 > 设复变量 $z = x + \mathrm{i}y$，考虑复变函数 $f(z) = u(x,y) + \mathrm{i}v(x,y)$， > 其中 $u$ 和 $v$ 是两个实值函数。我们要求 $f$ 的导数在复平面上处处存在且与求导方向 > 无关。沿实轴方向求导给出 ……，而沿虚轴方向求导给出 ……，两个表达式的实部和虚部分别 > 相等，立即得到柯西-黎曼条件 > > $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$ > > 满足此式的函数称为解析函数。从此式可以读出一个重要的几何性质：$u$ 的梯度与 $v$ 的 > 梯度正交。这意味着 $u = \text{const}$ 与 $v = \text{const}$ 两族曲线处处正交。 **为什么写得好**：定理陈述（柯西-黎曼条件）由前面的物理设置自然推出，给出公式之后用一 两句话陈述它的几何含义。整段没有任何"这是核心定理""务必掌握""非常重要"的元评论，几何 含义陈述本身就是对定理意义的最好说明。 --- ## lemma proof：纯推导的范例 样例摘自简正模 §19.1.3，证明 $\frac{\partial}{\partial q_i}\bigl(\tfrac{1}{2}\boldsymbol{q}^\mathrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{q}\bigr)\boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{M}\boldsymbol{q}$。 > 将被求导的式子展开，为 > > $$\tfrac{1}{2}\boldsymbol{q}^\mathrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{q} = \sum_{i,j}\tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j = \sum_i \sum_j \tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j .$$ > > 考察其中与 $q_i$ 有关的部分，有可能是第一个求和取 $i$，可能是第二个求和取 $i$，也可 > 能是两个求和都取 $i$，把这三类相加为 > > $$\sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j + \sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ji} q_j q_i + \tfrac{1}{2} m_{ii} q_i^2 .$$ > > 代回原式得到 > > $$\text{left side} = \frac{\partial}{\partial q_i}\Bigl[\sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ij} q_i q_j + \sum_{j\neq i}\tfrac{1}{2} m_{ji} q_j q_i + \tfrac{1}{2} m_{ii} q_i^2\Bigr]\boldsymbol{e}_i$$ > $$= \sum_{j\neq i}\bigl[\tfrac{1}{2} m_{ij} q_j + \tfrac{1}{2} m_{ji} q_j\bigr]\boldsymbol{e}_i + m_{ii} q_i \boldsymbol{e}_i$$ > $$= \sum_j m_{ij} q_j \boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{M}\boldsymbol{q} ,$$ > > 倒数第二个等号利用了 $\boldsymbol{M}$ 作为对称矩阵的性质。 **为什么写得好**：整段就是一连串公式加最短衔接词——"展开为""考察……部分""相加为""代回 得到""利用了……的性质"。没有"我们要做的第一步是……""现在我们考虑……""注意到这一步非常 关键……"这类讲解语言。推导自身的逻辑就是叙事，不需要再多一层元叙述。 --- ## lemma proof：含分步推导的范例 样例摘自简正模 §19.1.1 末段（动能对角化的几步推进）。 > 显然我们可以适当分配交叉项使得 $\boldsymbol{M}$ 是一个对称矩阵，这意味着它可对角化。 > 令 $\boldsymbol{M}$ 的对角化形式为 > > $$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1} .$$ > > 此时动能可以改写为 > > $$T = \dot{\boldsymbol{q}}^\mathrm{T} \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1} \dot{\boldsymbol{q}} .$$ > > 定义新的广义坐标 > > $$\boldsymbol{q}^* = \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{q} ,$$ > > 又由于 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 的每一行都是 $\boldsymbol{M}$ 的本征矢量 $\boldsymbol{x}_i$， > 也可以得到新广义坐标的各个分量为 > > $$q_i^* = \boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{q}_i .$$ > > 若令 $\boldsymbol{M}$ 的本征值为 $m_i$，则可以将动能写为不含广义坐标交叉项的形式，即 > > $$T = \sum_i \tfrac{1}{2} m_i (\dot q_i^*)^2 .$$ **为什么写得好**：每一步都是一行"陈述 + 公式"，陈述部分极短（"令 $\boldsymbol{M}$ 的 对角化形式为""定义新的广义坐标""若令 $\boldsymbol{M}$ 的本征值为 $m_i$"），公式紧跟。 六个公式块用五个衔接句串起来，每个衔接句平均不到 10 字。 --- ## example problem：题面紧凑的范例 样例摘自保角变换 EM131.14、EM131.18。 > 例 EM131.14：空间中有两个半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$ 的一大一小两个圆柱，其中心间距 > 为 $D$，试在 $D < R_2 - R_1$ 的条件下计算两个圆柱之间的电容。 > 例 EM131.18：有一个半长轴为 $A$、短半轴为 $B$ 的无限长导体椭圆柱，将其置于沿长轴方 > 向的均匀外电场 $E_0$ 中，试求椭圆柱外的电势分布和表面电荷密度。 **为什么写得好**：题面只给"物理设置 + 所求量"两件事，参数齐全、约束条件齐全。没有"为了 练习……""下面这道题考察……""请同学们仔细思考"等元描述。 --- ## example solution：纯推导的范例 样例摘自简正模例题 19.4。 > 解：不论通过对角化矩阵还是加减消元都可以很容易得到简正坐标为 > > $$\xi_{1,2} = x_1 \pm x_2 .$$ **为什么写得好**：solution 可以很短——所求量直接由前面建立的方法得到的话，给出结果即可， 不必为了凑字数把方法再讲一遍。"不论通过对角化矩阵还是加减消元"这句话指明可走的路径， 然后立刻给结果。 --- ## example solution：分步推导的范例 样例摘自简正模例题 19.5（含约当正规型求解）。 > 重新定义 $\boldsymbol{\xi}$，它的两个分量分别为 $2 x_1 + x_2$ 与 $2 x_1 - x_2$，那么 > 分量 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 满足的方程为 > > $$\ddot\xi_1 + \xi_1 + \xi_2 = 0 ,$$ > $$\ddot\xi_2 + \xi_2 = 0 .$$ > > 先求解 $\xi_2$，很容易得到通解 > > $$\xi_2 = B \cos(t + \varphi_2) .$$ > > 再将 $\xi_2$ 代回 $\xi_1$ 满足的方程得到 > > $$\xi_1 = A \cos(t + \varphi_1) - \tfrac{B}{2} t \sin(t + \varphi_2) .$$ > > 通过 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 反解 $x_1$ 和 $x_2$，即 > > $$x_1 = \tfrac{\xi_1 + \xi_2}{4}, \quad x_2 = \tfrac{\xi_1 - \xi_2}{2} .$$ > > 最终有 > > $$x_1 = \tfrac{A}{4}\cos(t+\varphi_1) + \tfrac{B}{4}\cos(t+\varphi_2) - \tfrac{B}{8} t \sin(t+\varphi_2) ,$$ > $$x_2 = \tfrac{A}{2}\cos(t+\varphi_1) - \tfrac{B}{2}\cos(t+\varphi_2) - \tfrac{B}{4} t \sin(t+\varphi_2) .$$ **为什么写得好**：分步走的求解里每一步都用"先求解""再将……代回""通过……反解""最终有" 之类的最短衔接。每个衔接词不超过三四个字，跟在公式之间纯粹起到流向指示的作用，不夹叙 任何讲解。看完一遍这种 solution，下次自己写就该写成这个样子。 --- ## 段与段之间的过渡：物理逻辑的范例 样例摘自简正模 §19.1.1 末到 §19.1.2 开头。 > 总结来说，在平衡位置附近，我们一定可以选择一组广义坐标，使得动能形式如 (19.9) 式。 > > ## 19.1.2 势能的表示 > > 在平衡位置附近，对振动有贡献的是势能的二阶项，不妨令其为 …… **为什么写得好**：§19.1.1 的最后一句是对该小节内容的客观归纳（"我们一定可以选择一组广义 坐标，使得动能形式如 (19.9)"），不是"接下来就讲势能"的预告。§19.1.2 第一句直接进入势能的 设置——之所以能进入，是因为已经写完动能、还差势能就能进拉格朗日方程，这是物理逻辑要求 的下一步，作者不需要在 19.1.1 末尾说"下一节会讲势能"。读者通过物理逻辑就能自然预期到 下一节的内容。 **反例（不要写成这样）**： > ……我们看到动能可以通过对角化写成无交叉项的形式。**这只是动能这一半的工作**，**接下来 > 我们要对势能做同样的事情，然后把两者代入拉格朗日方程，这是本节的核心目标**。 > > ## 势能的表示 > > 现在我们来处理势能 …… 反例里加粗的两句完全是元叙述，物理上没有任何新信息——拿掉这两句读者照样知道下一节是 势能。这种话出现在 textbook 里就是把大纲编排话误带进了讲义。 --- ## 整体风格的负面对照 为了让样例的"好"更明显，把同样的物理内容用错误风格再写一遍。 错误版（不要这样写）： > 我们现在面对的是一个学生最容易卡住的地方——多自由度系统的小振动看起来比单摆复杂得多。 > 但其实只要找到一个统一的语言，问题就会变得清楚。这个统一的语言就是动能和势能的二次型 > 展开，再加上拉格朗日方程。本节是整章的基础，建议同学们一定要把这一节的推导完整做一遍， > 否则后面的内容都会跟不上。下面我们先来看动能的形式。 为什么错：第一句"学生最容易卡住""看起来比单摆复杂得多"是教研判断，不该出现在学生看的 教材里；"统一的语言""会变得清楚"是情感修饰；"本节是整章的基础""建议同学们一定要……否则 后面的内容都会跟不上"是讲师对学生的指令性叙述，不是物理陈述；"下面我们先来看……"是 编排预告。 把这一段擦掉，直接写"要考察一个多自由度体系在平衡位置附近的小振动，一种普适的方法是 写出体系的动能和势能然后代入拉格朗日方程"——这就是正确的范例。